Métropole, mars 2023

On considère la fonction  $f$ définie sur  $\mathbb{R}$ par  $f(x)=\ln (1+{\mathrm{e}}^{-x})$ , où  $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
On note  $C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(\text{O},\overrightarrow{i}\overrightarrow{j})$ .
La courbe $C$  est tracée ci-dessous.

1. a. Déterminer la limite de la fonction  $f$ en $-\mathrm{\infty }$ .
    b. Déterminer la limite de la fonction  $f$ en $+\mathrm{\infty }$ . Interpréter graphiquement ce résultat.
    c. On admet que la fonction  $f$ est dérivable sur  $\mathbb{R}$ et on note  $f^{\prime }$ sa fonction dérivée. Calculer  $f^{\prime }(x)$ puis montrer que, pour tout nombre réel $x$ , $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{-1}{1+{\text{e}}^x}}$ .
    d. Dresser le tableau de variations complet de la fonction  $f$ sur $\mathbb{R}$ .

2. On note  $T_0$ la tangente à la courbe  $C$ en son point d’abscisse $0$ .
    a. Déterminer une équation de la tangente $T_0$ .
    b. Montrer que la fonction  $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .
    c. En déduire que, pour tout nombre réel $x$ , on a :  $f(x)⩾-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+\ln (2)$ .

3. Pour tout nombre réel  $a$ différent de $0$ , on note ${\text{M}}_a$  et  ${\text{N}}_a$ les points de la courbe  $C$ d’abscisses respectives  $-a$ et $a$ . On a donc : ${\text{M}}_a(-a;f(-a))$ et ${\text{N}}_a(a;f(a))$ .
    a. Montrer que, pour tout nombre réel $x$ , on a : $f(x)-f(-x)=-x$ .
    b. En déduire que les droites  $T_0$ et   $({\text{M}}_a{\text{N}}_a)$ sont parallèles.